הרב היה מלך ביופיו ואיש אשכולות. דמותו המאירה הייתה חטובה מעולם האצילות, מקושטת באבני חן של ענווה טהורה, אהבת אמת ומידות טובות ונדירות, ונוסף על אלו היה גאון בהטבה של צדקה וחסד, ידו פתוחה ונפשו קשובה לכל אנחה.

גידולו היה בבית מלכים, מהמשפחות המיוחסות בישראל: משפחת הבן איש חי, משפחת הרב יאודה פתייא ומשפחות גדולי תורה נוספים, שאהבת תורה ואצילות יהודית היו טבועים בדמם. מעיר התהילה בגדד עלו אבות המשפחה לעיר הקודש ירושלים, ושם נולד רבי מנחם על ברכי גאוני ישראל וקדושיו.

"היינו חברים מילדות", שח הרב יצחק אבא שאול בימי ה'שבעה', "רבי מנחם לא היה ילד שקט או מתבודד, בעל חלומות או תוכניות לעתיד… הוא היה ילדון טוב לב, שעשה ברצון כל מה שביקשו ממנו. " ודבר נוסף — תמיד הוא חייך והאיר פנים לכל אדם! "כמה התאים לו להקים מוסד לילדים דווקא, שהרי הרגיש את עצמו כילד, עניו, וחש כי הכול חבריו. הוא לא נהג בתלמידיו כרב ואף לא כמנהל. מעולם לא התנשא עליהם, אלא היה חבר של הילדים. אהוב למעלה ונחמד למטה".

לרב בצרי הייתה שיטה סדורה ומיוחדת בחינוך, בדרך החינוך, בסגנון, בהופעה, ובכל תחום בחינוך, אך מעל הכל הוא היה 'אבא' לתלמידיו, את מהותו כאבא רחום חש כל מי שהתקרב אליו ולו לרגע קט, באשר הוא היה גם אבא של כולם; תלמידים, הורים, מורים, בוגרים, תורמים ועוד, ואת כל כוחותיו נתן לכלל ישראל.

הייתה ברב יכולת מפליאה, לשלב ולמזג תקיפות ורוך, נחישות והתחשבות, נזיפות ואהבה מוסתרת, תוכחת מגולה ורדיפת שלום, רחמנות אך ללא פשרות, עזות דקדושה ותמיכה כובשת לב, וכך הצליח לרפא את תחלואי נפשם ונשמתם של תלמידיו ולהפוך כל לב אבן ללב בשר!

פתיחת ה'תלמוד תורה' הראשון לבני עדות המזרח הייתה מבצע אדיר. באין כל תקציב ממשלתי, מבנה או תשתית מוקדמת, היה צורך להתחיל מבראשית! הרב בצרי נרתם לתפקיד וקיבל עליו את העול הגדול. כך, החל משנת תשל"ד, במשך כחמישים שנה, זכה והעמיד אלפי תלמידים בני תורה, שהיום ממלאים את ספסלי הישיבות הקדושות.

מדי שנה בשנה היה שש ושמח עם עוד מחזור של ילדים שסיים את ה'תלמוד תורה' ועלה לישיבה הקדושה — כשהוא עצמו נשאר לנטור את הכרם ולפקח על גידולם של הקטנים — תינוקות של בית רבן. הבוגרים אף הם לא נעקרו מליבו, והוא המשיך לשמור עימם על קשר רציף, מקיים כינוסים ושבתות בוגרים, מסייע להם בעת נישואיהם, וגם לאחר מכן — מעניק להם מטובו לקראת החגים, כדי להקל מעליהם את הוצאות המועד.